[latex]\sqrt{\frac{x}{(x+1)(z+1)}} \leq \frac{1}{2} \left( \frac{x}{x+1} +\frac{1}{z+1} \right)[/latex], što se samo pozbroji.

Samo napomena na početku, LHS znači left hand side

Svedemo nejednakost na ekvivalentnu:

[latex]\sum{}\sqrt{\frac{x}{(x+1)(z+1)}} \le \frac{3}{2} [/latex]

Primjenimo Cauchy-Schwarzovu nejednakost na LHS na način:

[latex]\sum{}\sqrt{\frac{x}{(x+1)(z+1)}} \le \sqrt{(\sum{}\frac{x}{x+1})(\sum{}\frac{1}{z+1})} [/latex]

Pa uz supstituciju [latex]s= \sum{}\frac{1}{x+1} [/latex] ostaje za pokazati:

[latex]s(3-s)\le \frac{9}{4} [/latex] što je ekvivalentno s: [latex](s-\frac{3}{2})^2\ge 0 [/latex]

Matko, tvoja nejednakost slijedi direktno iz primjene C-S-a na lijevu stranu. 🙂

Pozdrav!

*Napomena za uređivače* Probao sam sve korektno napisati u latexu, ali ipak malo je teže provjeriti kad nema prewiev tako da ako ima koja greška, molio bih da se ispravi. Hvala!

[latex] \sqrt {x(y + 1)} + \sqrt {y(z + 1)} + \sqrt {z(x +1)}\le \sqrt {A(A + 3)} [/latex],

gdje je [latex]A=x+y+z[/latex].

Neka je [latex]x:=tg^2(a)[/latex], [latex]y:=tg^2(b)[/latex], [latex]z:=tg^2(c)[/latex], gdje su [latex]\frac{\pi}{2}> a,b,c >0 [/latex]

Nejednakost je sada ekvivalentna s

[latex]\displaystyle\sum\limits_{cyc} \frac{tg(a)}{cos(b)} \le \frac{3}{2cos(a)cos(b)cos(c)}[/latex]

Nakon množenja s nazivnikom nejednakost postaje:

[latex]\displaystyle\sum\limits_{cyc} sin(a)cos(c) \le \displaystyle\sum\limits_{cyc} \frac{sin^2(a)+cos^2(c)}{2}=\frac{3}{2}[/latex], gdje lijeva nejednakost slijedi iz AM-GM nejednakosti. Done! 🙂