Prirodni brojevi [latex]a[/latex], [latex]b[/latex], [latex]c[/latex], [latex]d[/latex] zadovoljavaju [latex]a > b > c > d[/latex], [latex]a + b + c + d = 2010[/latex], [latex]a^2 – b^2 + c^2 – d^2 = 2010[/latex]. Koliko različitih vrijednosti može poprimiti broj [latex]a[/latex]?
(predložio Miro Vujičević)
Pozdrav!
Iz [latex]a^2 +c^2=2010 +b^2 +d^2[/latex] slijedi da su [latex]a,c[/latex] iste parnosti, te su [latex]b,d[/latex] također iste parnosti, pri čemu su [latex]a,b[/latex] različite parnosti. (Kad nebi bilo tako, onda bi bilo [latex]LHS \equiv 1 \bmod{4}[/latex],a [latex]RHS \equiv 2+b^2+d^2 \bmod{4}[/latex], sto je nemoguce.
Očito je [latex]a\ge 504[/latex].
Ako je [latex]b\le a-4[/latex] onda je [latex](a-b)(a+b)>2010[/latex], pa mora biti [latex]b=a-3[/latex] ili [latex]b=a-1[/latex]. Ako je [latex]b=a-3[/latex] onda je [latex](a-b)(a+b)=3(2a-3) \ge 3*1005 >2010 [/latex], pa je [latex]b=a-1[/latex].
Sad je
[latex]a^2-b^2 +c^2 -d^2=2a-1+(c-d)(c+d)[/latex]
[latex]2a-1+(c-d)(c+d)=2a-1+(c-d)(2010-2a+1)[/latex]
[latex]2a-1+(c-d)(2010-2a+1) \ge 1007 +1003(c-d)[/latex]
[latex]1007+1003(c-d) \ge 2010[/latex],
pa mora biti [latex]d=c-1[/latex]. Sada su obje jednadžbe ekvivalentne, i jednake [latex]a+c=1006[/latex], pa je ukupan broj različitih vrijednosti koje [latex]a[/latex] može postići jednak [latex]501[/latex].
🙂