Dokaži da je broj složen.

Svi znamo da pozitivni realni brojevi [latex]a, b, c[/latex] mogu biti stranice trokuta ako i samo ako je [latex]a+b>c[/latex], [latex]b+c>a[/latex] i [latex]c+a>b[/latex].
Sada nas zanima što vrijedi za težišnice trokuta. Preciznije, kada postoji trokut kome su [latex]t_a, t_b, t_c[/latex] duljine težišnica?

Površina trokuta sa stranicama duljina [latex]a,b,c[/latex] iznosi [latex]P[/latex], a površina trokuta sa stranicama duljina [latex]a+b, b+c, c+a[/latex] iznosi [latex]Q[/latex]. Dokaži da je [latex]Q\ge 4P[/latex].

1. Dokaži da postoji injekcija [latex]f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}[/latex] takva da funkcija [latex]g:\mathbb{R}\to \mathbb{R}[/latex], definirana s [latex]g(x):=f(x)+\lambda x[/latex], nije injekcija ni za jedan realan broj [latex]\lambda\neq 0[/latex].

2. Dokaži da postoji surjekcija [latex]f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}[/latex] takva da funkcija [latex]g:\mathbb{R}\to \mathbb{R}[/latex], definirana s [latex]g(x):=f(x)+\lambda x[/latex], nije surjekcija ni za jedan realan broj [latex]\lambda\neq 0[/latex].

Dragi učenici,
da se ne biste uspavali usred sezone natjecanja, od sutra (22. veljače) ponovno će svakim radnim danom u rano jutro biti objavljen Zadatak dana.
Potičemo vas da rješenje napišete u komentare zadatka već idući dan.
Zadaci će biti raznolike težine – od prvog razreda pa do olimpijskih – kako bismo zaposlili i velike i male.
U svojim rješenjima možete koristiti [latex]\LaTeX{}[/latex], između tagova “latex” i “/latex” (navodnike zamijenite uglatim zagradama).
Prijedloge za nove zadatke dana šaljite na mail Tomislavu ili meni.

Neka je [latex]p \geq 3[/latex] prost broj i neka je [latex]a_1,a_2,\cdots , a_{p-2}[/latex] niz prirodnih brojeva, takav da za svaki [latex]k \in \{1,2,\cdots,p-2\}[/latex] vrijedi: niti je [latex]a_k[/latex], niti [latex]a_k^k-1[/latex] djeljiv s [latex]p[/latex]. Dokaži da je umnožak nekih članova ovog niza kongruentan [latex]2[/latex] modulo [latex]p[/latex].

Neka je [latex]k[/latex] prirodan broj. Nađi sve polinome s realnim koeficijentima koji zadovoljavaju [latex]P(P(x))=(P(x))^k[/latex].

Četiri pravca u ravnini određuju četiri trokuta. Dokažite da su ortocentri tih trokuta kolinearni.

Imamo dvije hrpe, u svakoj je [latex]2010[/latex] novčića. Dva igrača naizmjence vuku poteze, a potez se sastoji u uzimanju jednoga ili više novčića s jedne hrpe, ili točno jednog novčića sa svake hrpe. Pobjednik je onaj tko uzme posljednji novčić. Koji igrač ima pobjedničku strategiju?

…nastavljamo sa ZADATKOM DANA. Bilo bi dobro da rješenje zadatka napišete u komentare već sljedeći dan.

Je li moguće obojati u ravnini nekih [latex]2008[/latex] točaka crveno i nekih [latex]2008[/latex] točaka plavo tako da su obojane točke različite, ne leže sve na istom pravcu i zadovoljavaju uvjet da svaki pravac koji prolazi dvjema točkama različite boje nužno prolazi još jednom obojanom točkom?