Realni brojevi [latex]a, b, c, d[/latex] zadovoljavaju jednakosti [latex]abc-d=1[/latex], [latex]bcd-a=2[/latex], [latex]cda-b=3[/latex], [latex]dab-c=-6[/latex]. Dokaži da je [latex]a+b+c+d\neq 0[/latex].
One thought on “1, 2, 3, -6”
Comments are closed.
Pretpostavimo suprotno, tj. a+b+c+d=0.
Kad sve zbrojimo dobivamo abc+bcd+abd+acd=0.
Pogledajmo polinom P(x) kojem su to nultočke. On je oblika (zbog Viete):
x^4 + m * x^2 + n = 0
Očito je da su nultočke takvog polinoma (ako su realne) brojevi oblika e, -e, f, -f.
Tada desne strane prvih četiri jednakosti bi trebale biti oblika:
+-(eef-f), +-(eff-e). Drugim riječima, te jednakosti bi trebale imati dva para jednakih apsolutnih vrijednosti, no to nije tako. Kontradikcija.