Neka je
šiljastokutan, ne-jednakostraničan trokut. Točku
nazivamo dobrom ako se nalazi u unutrašnjosti trokuta i ako vrijedi
![](https://mnm.hr/wp-content/plugins/latex/cache/tex_902fbdd2b1df0c4f70b4a5d23525e932.gif)
![](https://mnm.hr/wp-content/plugins/latex/cache/tex_44c29edb103a2872f519ad0c9a0fdaaa.gif)
a) Dokaži da postoji dobra točka koja nije središte opisane kružnice trokuta.
b) Dokaži da postoji beskonačno mnogo dobrih točaka.
Ovo je ruzno rjesenje, al nadam se tocno.
Oznacimo izraz s lijeve strane s f(P) za svaku tocku P iz unutrasnjosti trokuta.
Da bude lakse, stranice trokuta su a, b, c.
Posto je trokut nejednakostranican, od sljedeća tri izraza a-b, b-c, c-a postoje dva od kojih je jedan pozitivan, a jedan negativan.
BSOMP a-b>0, b-c<0.
Za C=P, |PC|=0, |PA|=b, |PB|=c.
f(C) = a^2 * (a-0) + b^2 * (0-b) + c^2 * (b-a) = a^3 - b^3 + c^2 * (b-a) = (a-b) * (a^2+ab+b^2-c^2) = (a-b) * ab * (1+2cos(GAMA) ) >0
(U međuvremenu koristim kosinusov poučak, i činjenicu da su kutovi šiljasti.)
Analogno, f(A)<0.
Sada, ta funkcija je neprekidna. Stoga, ako uzmemo bilo koju krivulju (primjerice, kružnicu kojoj je AC kružni luk) i mičemo se po toj krivulji od točke A (gdje smo negativni) do točke C (gdje smo pozitivni), doći ćemo u točku u kojoj funkcija ima vrijednost nula. Kako takvih krivulja (kružnih lukova) ima beskonačno mnogo, ima i točaka P. Q.E.D
Bilo bi odlično kad bi netko uspio naći gdje se nalaze sve dobre točke.