Svi znamo da pozitivni realni brojevi [latex]a, b, c[/latex] mogu biti stranice trokuta ako i samo ako je [latex]a+b>c[/latex], [latex]b+c>a[/latex] i [latex]c+a>b[/latex].
Sada nas zanima što vrijedi za težišnice trokuta. Preciznije, kada postoji trokut kome su [latex]t_a, t_b, t_c[/latex] duljine težišnica?
Pokazi da ne postoje prirodni brojevi takvi da:
[latex] x^2 +10y^2=3z^2[/latex]
Dragi učenici, i ove godine ćemo prije županijskog natjecanja održati posebno natjecanje za vas. No ovaj put to će natjecanje biti i početak mini-lige u kojoj će nagrada biti popust na sudjelovanje na kampu. U subotu ćete čuti više detalja, a svakog od vas će dočekati 4 zgodna zadatka koja možete iskoristiti kao zagrijavanje za županijsko natjecanje. Svakako dođite!
Proljetna sezona Turnira gradova počinje!
Ove nedjelje održat će se pripremno kolo, a glavni dio je na rasporedu za tri tjedna.
Više informacija i aktualne obavijesti pratite na turnir.mnm.hr.
Površina trokuta sa stranicama duljina [latex]a,b,c[/latex] iznosi [latex]P[/latex], a površina trokuta sa stranicama duljina [latex]a+b, b+c, c+a[/latex] iznosi [latex]Q[/latex]. Dokaži da je [latex]Q\ge 4P[/latex].
Za [latex]a,b,c,d \in \mathbb{R}[/latex], dokaži:
[latex] (a+b+c+d)^2 \ge 4(ab+bc+cd+da)[/latex]
1. Dokaži da postoji injekcija [latex]f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}[/latex] takva da funkcija [latex]g:\mathbb{R}\to \mathbb{R}[/latex], definirana s [latex]g(x):=f(x)+\lambda x[/latex], nije injekcija ni za jedan realan broj [latex]\lambda\neq 0[/latex].
2. Dokaži da postoji surjekcija [latex]f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}[/latex] takva da funkcija [latex]g:\mathbb{R}\to \mathbb{R}[/latex], definirana s [latex]g(x):=f(x)+\lambda x[/latex], nije surjekcija ni za jedan realan broj [latex]\lambda\neq 0[/latex].
Neka su [latex]a[/latex] i [latex]b[/latex] pozitivni cijeli brojevi, takvi da [latex]a|b^2[/latex], [latex]b^2|a^3[/latex], [latex]a^3|b^4[/latex], [latex]b^4|a^5[/latex], itd.
Dokaži da je [latex]a=b[/latex].
Dragi učenici,
da se ne biste uspavali usred sezone natjecanja, od sutra (22. veljače) ponovno će svakim radnim danom u rano jutro biti objavljen Zadatak dana.
Potičemo vas da rješenje napišete u komentare zadatka već idući dan.
Zadaci će biti raznolike težine – od prvog razreda pa do olimpijskih – kako bismo zaposlili i velike i male.
U svojim rješenjima možete koristiti [latex]\LaTeX{}[/latex], između tagova “latex” i “/latex” (navodnike zamijenite uglatim zagradama).
Prijedloge za nove zadatke dana šaljite na mail Tomislavu ili meni.