Nehomogena nejednakost u dvije varijable

Ostalo

Dokaži nejednakost [latex]a^2b^2(a^2+b^2-2)\geq(a+b)(ab-1)[/latex] za sve pozitivne realne brojeve [latex]a, b[/latex].

5 thoughts on “Nehomogena nejednakost u dvije varijable”

  1. Nadam se da nije prerano, ali evo rješenja (Plečko me zamolio da napišem).

    Ugl. Uz supstituciju [latex]a+b=2x[/latex] i [latex]\sqrt{ab}=y[/latex] iz čega slijedi [latex]x\ge y[/latex] pa se nejednakost svodi na pokazivanje:

    [latex]f(x)=(2y^4)x^2+(1-y^2)x-y^4(y^2+1) \ge 0[/latex]

    Funkcija postiže minimum za [latex]\frac{y^2-1}{4y^4}[/latex], a kako je [latex]\frac{y^2-1}{4y^4} < y[/latex], dovoljno je pokazati da je [latex]f(y)=y(y^5-y^3-y^2-1)\ge 0[/latex] Što slijedi iz [latex]y^5+1\ge y^3+y^2[/latex] (monotono preuređenje vektora) Pozdrav! 🙂

  2. Nadajmo se da će se dobro prikazati…

    Raspisivanjem i sređivanjem dobivamo ekvivalentnu nejednakost:
    [latex]\displaystyle a^4b^2+b^4a^2+a+b \geqslant 2a^2b^2+a^2b+b^2a[/latex]

    Ovo sljedeće vrijedi po A.-G:

    [latex]\displaystyle a^4b^2+a^4b^2+b^4a^2+b+b \geqslant 5a^2b^2[/latex]

    [latex]\displaystyle b^4a^2+b^4a^2+a^4b^2+a+a \geqslant 5a^2b^2[/latex]

    [latex]\displaystyle a^4b^2+a^4b^2+a+a+b \geqslant 5a^2b[/latex]

    [latex]\displaystyle b^4a^2+b^4a^2+b+b+a \geqslant 5b^2a[/latex]

    Zbrajanjem i dijeljenjem s [latex]5[/latex] dobivamo što smo htjeli dokazati.
    Jednakost vrijedi akko [latex]a=b=1[/latex].

  3. Ti si rekao da funkcija postiže minimum za neki x. Onda si uvrstio u funkciju neki drugi (veći) broj, i dokazao da nejednakost tada vrijedi, odnosno da za taj x vrijedi da je f(x) veći od 0. Što je sa svim ostalim vrijednostima?

  4. Za fiksan [latex]y[/latex], zanimaju nas samo vrijednosti [latex]f(x)[/latex] za [latex]x\ge y[/latex] jer je to ranije dokazano. Minimum se dobiva za [latex]x =\frac{y^2-1}{4y^2}[/latex], ali on nas ne zanima jer je manji od [latex]y[/latex]. Zato je [latex]f(y)[/latex] najmanja funkcijska vrijednost koja nas zanima.

Comments are closed.