Gdje god pogledaš - pravi kut

Ostalo

Dan je tetivan četverokut  takav da je  okomito na . Točka  nožište je okomice iz  na , a točka  nožište okomice iz  na . Dokaži da pravac prolazi polovištem dužine .

(predložio Vlatko Crnković)

2 thoughts on “Gdje god pogledaš - pravi kut”

  1. Dosta poznat zadatak (neki MEMO tulumcic):
    sorry sto nema latexa al evo :

    Primijetimo da je cetverokut ABNK je tetivan (pravi kutevi nad tetivom AB) :
    kut NAK = kut KBN
    kut BKN = NAB
    iz pravokutnog trokuta ANB :
    kut NBA = 90 - NAB
    sad iz trokuta ABC slijedi :
    kut CBN = kut CAN

    zbog tetivnosti ABCD :
    kut DBC = kut CAD

    kombinacijom prehodnih :
    kut KBP = kut PKB
    ----> KP = BP i trokut KDB je pravokutan pa se vidljivo da je P poloviste njegove hipotenuze BD.
    Ima mozda nes lijepse ?

  2. Ima. 🙂

    Neka je L ortogonalna projekcija tocke B na pravac CD. Posto je B na kruznici opisanoj trokutu ACD, tocke K, L i N nalaze se na Simpsonovom pravcu*.

    Zbog puno pravih kutova (BKD, KDL, DLB) cetverokut BKDL je pravokutnik. Njegove dijagonale BD i KL se raspolavljaju. Zato pravac KN prolazi polovistem duzine BD.

    *(Za one koji ne znaju) Simpsonov pravac: Opcenito, za tocku T na kruznici opisanoj trokutu ABC neka su tocke X, Y, i Z ortogonalne projekcije na pravce AB, BC i CA. Tocke X, Y i Z su kolinearne, a pravac na kojem se nalaze naziva se Simpsonovim. Neka me netko ispravi ako grijesim, ali mislim da se moze reci da su X, Y i Z kolinearne akko je T na opisanoj kruznici. Time Simpsonov pravac postaje jos jedan alat za dokazivanje tetivnosti nekog cetverokuta.

Comments are closed.