Dan je tetivan četverokut 
takav da je 
okomito na 
. Točka 
nožište je okomice iz 
na 
, a točka 
nožište okomice iz na 
. Dokaži da pravac 
prolazi polovištem dužine 
.
(predložio Vlatko Crnković)
2 thoughts on “Gdje god pogledaš - pravi kut”
Comments are closed.
Dosta poznat zadatak (neki MEMO tulumcic):
sorry sto nema latexa al evo :
Primijetimo da je cetverokut ABNK je tetivan (pravi kutevi nad tetivom AB) :
kut NAK = kut KBN
kut BKN = NAB
iz pravokutnog trokuta ANB :
kut NBA = 90 - NAB
sad iz trokuta ABC slijedi :
kut CBN = kut CAN
zbog tetivnosti ABCD :
kut DBC = kut CAD
kombinacijom prehodnih :
kut KBP = kut PKB
----> KP = BP i trokut KDB je pravokutan pa se vidljivo da je P poloviste njegove hipotenuze BD.
Ima mozda nes lijepse ?
Ima. 🙂
Neka je L ortogonalna projekcija tocke B na pravac CD. Posto je B na kruznici opisanoj trokutu ACD, tocke K, L i N nalaze se na Simpsonovom pravcu*.
Zbog puno pravih kutova (BKD, KDL, DLB) cetverokut BKDL je pravokutnik. Njegove dijagonale BD i KL se raspolavljaju. Zato pravac KN prolazi polovistem duzine BD.
*(Za one koji ne znaju) Simpsonov pravac: Opcenito, za tocku T na kruznici opisanoj trokutu ABC neka su tocke X, Y, i Z ortogonalne projekcije na pravce AB, BC i CA. Tocke X, Y i Z su kolinearne, a pravac na kojem se nalaze naziva se Simpsonovim. Neka me netko ispravi ako grijesim, ali mislim da se moze reci da su X, Y i Z kolinearne akko je T na opisanoj kruznici. Time Simpsonov pravac postaje jos jedan alat za dokazivanje tetivnosti nekog cetverokuta.