5 thoughts on “Sve počinje geometrijom”

1. Jel prošlo 5 dana? A sad je gotovo.
   Dakle, rjesenje:

   Koristimo jednu relativno poznatu lemu:
   >Za tocku T na kracem luku XY jednakostranicnom trokutu XYZ opisanoj kruznici vrijedi: TX+TY=TZ.
   Dokaz: Ptolomej na tetivni cetverokut TYZX: YZ*TX+XZ*TY=XY*TZ (kracenjem sa XY=YZ=XZ dobivamo zeljenu jednakost).

   Sad nas zadatak:
   Primijenimo lemu na tocku P i trokute ACE i BDF (jasno je da su oni jednakostranicni).
   PA+PC=PE
   PB+PD=PF
   Zbrajanjem dobivamo tvrdnju zadatka, Q.E.D.

   U zadatku s puno tocaka na kruznici i zbrojevima njihovih udaljenosti, Ptolomej je dosta logicno rjesenje.

2. Tvoje rješenje ljepše je od mojeg (gruba sila, 4 Ptolomeja). Zapravo se može riješiti i bez ikakvog Ptolomeja jer za tvoju lemu postoji i neptolomejski dokaz (pozivam čitatelje da ga pronađu).

3. Za zadani zadatak je doista ljepše Matkovo rješenje, ali se time
   gubi na općenitosti 4 ptolomeja ili bruteforce jedinstveno određuju situaciju općenito mislim da se može dobiti neka nejednakost vezano za položaj točke T (ako se nalazi u kružnom isječku ili izvan njega) ali sve što sam ja dobio nije baš prekrasno pa ako netko hoće može se probati time pozabaviti.

4. Ja sam isto sa 4 ptolomeja.
   Adriane ovo Matkovo se moze sa 2 sinusova poucka na TXZ i TZY al je ruznije

5. Može se i bez trigonometrije 🙂 Treba nanijeti TX na TZ i onda dokazati da je ostatak od TZ jednak TY, a to je neka sukladnost.

Comments are closed.