…beskonačno mnogo prirodnih brojeva koji nisu jednaki zbroju nikoja dva potpuna kvadrata, ali su jednaki zbroju neka tri potpuna kuba.
One thought on “Dokaži da postoji…”
Valjda je proslo 5 dana.
Rješenje:
Kvadrat prirodnog broja pri djeljenju sa 4 može dati ostatak 0 ili 1.To znači da suma kvadrata nemože davati ostatak 3 pri djeljenju sa 4 .Neka je [latex]k[/latex] prirodan broj.Promotrimo sada: [latex]k^3+(2k-1)^3+(2k+1)^3[/latex]. To nakon kubiranja postaje
[latex]k^3+16k^3+12k\quad(1)[/latex].
Sada želim naći kakvog oblika broj [latex]k[/latex] mora biti tako da [latex]k^3[/latex] daje ostatak 3 pri djeljenju s 4. Provjerom se lako dobije da je jedno od takvih rjesenje, mozda jedino [latex]k=4l+3,l\in\mathbb{N}[/latex].Sada uvrstavanjem u (1) dobivamo sumu kobova koja se ne može predstaviti kao zbroj dva potpuna kvadrata,a kako prirpdnih brojeva ima beskonačno onda i takvih također ima beskonacno mnogo.[latex]Q.E.D[/latex]
Valjda je proslo 5 dana.
Rješenje:
Kvadrat prirodnog broja pri djeljenju sa 4 može dati ostatak 0 ili 1.To znači da suma kvadrata nemože davati ostatak 3 pri djeljenju sa 4 .Neka je [latex]k[/latex] prirodan broj.Promotrimo sada: [latex]k^3+(2k-1)^3+(2k+1)^3[/latex]. To nakon kubiranja postaje
[latex]k^3+16k^3+12k\quad(1)[/latex].
Sada želim naći kakvog oblika broj [latex]k[/latex] mora biti tako da [latex]k^3[/latex] daje ostatak 3 pri djeljenju s 4. Provjerom se lako dobije da je jedno od takvih rjesenje, mozda jedino [latex]k=4l+3,l\in\mathbb{N}[/latex].Sada uvrstavanjem u (1) dobivamo sumu kobova koja se ne može predstaviti kao zbroj dva potpuna kvadrata,a kako prirpdnih brojeva ima beskonačno onda i takvih također ima beskonacno mnogo.[latex]Q.E.D[/latex]