Dokaži da za svaki konačan niz znamenaka postoji prirodan broj 
takav da 
počinje tim nizom znamenaka.
A potom je državno natjecanje, što znači da neće biti zadatka dana, a neće ga biti ni u tjednu nakon državnog, da se malo odmorite. Potom nastavljamo, idući hrabro ususret izbornim natjecanjima.
...za koje postoji prirodan broj 
takav da je zbroj znamenaka od 
.
Dokaži 
uz uvjet 
.
i točka 
unutar njega. Pravci 
sijeku opisanu kružnicu trokuta ponovno u točkama 
, respektivno. Na pravcu 
(nije Windows) odabrana je točka 
između točaka i 
. Pravci kroz točku , paralelni s 
i 
, sijeku pravce 
i 
u točkama 
i 
, respektivno. Dokaži da točke 
leže na istoj kružnici.a) Dokaži da poligon sačinjen od jediničnih kvadratića ne može imati točno jednu stranicu parne duljine.
b) Poligon je sačinjen od parno mnogo jediničnih kvadratića. Dokaži da on ima barem dvije stranice parne duljine.
Svako polje prvog retka tablice od 
retka i 
stupaca obojano je jednom od četiri boje tako da nikoja dva susjedna polja nisu iste boje. Dokaži da je moguće i drugi redak obojati koristeći iste boje, tako da nikoja dva polja iste boje nisu susjedna u tablici i tako da tablica sadrži točno polja od svake boje.
brojeva, a svaki je početno jednak 
. Poteze vuku naizmjence. U svakom potezu igrač mora naći najveći broj u nizu (ako je više takvih, odabrat će bilo koji od njih) i smanjiti ga na proizvoljan nenegativan cijeli broj. Gubitnik igre onaj je igrač koji više ne može odigrati potez, tj. onaj koji je na potezu kad su svi brojevi jednaki 
. Koji igrač ima pobjedničku strategiju?
za koje je 
.
takve da je 
također cijeli broj.
dana je točka 
i u unutrašnjosti trokuta 
točka 
. Dokaži da je 
ako vrijedi