Dokaži da za svaki konačan niz znamenaka postoji prirodan broj [latex]n[/latex] takav da [latex]2^n[/latex] počinje tim nizom znamenaka.

A potom je državno natjecanje, što znači da neće biti zadatka dana, a neće ga biti ni u tjednu nakon državnog, da se malo odmorite. Potom nastavljamo, idući hrabro ususret izbornim natjecanjima.

…za koje postoji prirodan broj [latex]m[/latex] takav da je [latex]n[/latex] zbroj znamenaka od [latex]m^2[/latex].

Dokaži [latex](y^3+x)(z^3+y)(x^3+z)\ge 125xyz[/latex] uz uvjet [latex]x, y, z\ge 2[/latex].

a) Dokaži da poligon sačinjen od jediničnih kvadratića ne može imati točno jednu stranicu parne duljine.

b) Poligon je sačinjen od parno mnogo jediničnih kvadratića. Dokaži da on ima barem dvije stranice parne duljine.

Svako polje prvog retka tablice od [latex]2[/latex] retka i [latex]2n[/latex] stupaca obojano je jednom od četiri boje tako da nikoja dva susjedna polja nisu iste boje. Dokaži da je moguće i drugi redak obojati koristeći iste boje, tako da nikoja dva polja iste boje nisu susjedna u tablici i tako da tablica sadrži točno [latex]n[/latex] polja od svake boje.