Neka je broj cjelobrojnih rješenja jednadžbe uz uvjet ,
a broj cjelobrojnih rješenja jednadžbe uz isti uvjet.
Dokažite da je .
(predložio Nikola Adžaga)
Neka je broj cjelobrojnih rješenja jednadžbe uz uvjet ,
a broj cjelobrojnih rješenja jednadžbe uz isti uvjet.
Dokažite da je .
(predložio Nikola Adžaga)
Dane su dvije kružnice čija ih zajednička vanjska tangenta dira u točkama i , a zajednička unutarnja tangenta u točkama i . Dokaži da je .
Dan je neprazan (ne nužno konačan) skup . Neka je skup svih nepraznih podskupova od . Postoji li:
a) surjekcija ;
b) injekcija ?
Na stranici trokuta dana je točka . Tada je .
Preporučam da ovo dokažu oni koji ne znaju trigonometriju: dovoljno je pogledati poučak o sinusima.
Inače, ova korisna činjenica olakšava način razmišljanja u zadacima u kojima se javlja ovakva konfiguracija, jer daje odnos duljina na koje je podijeljena stranica trokuta i kutova na koje je podijeljen nasuprotni kut trokuta. Za primjer pogledajte što se dobiva kad je težišnica, visina, simetrala kuta.
Prirodni brojevi , , , zadovoljavaju , , . Koliko različitih vrijednosti može poprimiti broj ?
(predložio Miro Vujičević)
Dokaži nejednakost za sve pozitivne realne brojeve .
Dan je tetivan četverokut takav da je okomito na . Točka nožište je okomice iz na , a točka nožište okomice iz na . Dokaži da pravac prolazi polovištem dužine .
(predložio Vlatko Crnković)