…u svakom polju piše cijeli broj. Ako svaki redak i svaki stupac sadrži barem [latex]K[/latex] različitih brojeva, pri čemu je [latex]0<K\le N[/latex], nađi minimalan broj različitih cijelih brojeva na ploči.
(predložio Miro Vujičević)
Još jedna teorija brojeva!
Nađi sve prirodne brojeve [latex]x, y[/latex] takve da [latex]x+y+1[/latex] dijeli [latex]2xy[/latex] i [latex]x+y-1[/latex] dijeli [latex]x^2+y^2-1[/latex].
Dokaži nejednakost…
[latex]f(n)\leq g(1)+g(2)+\dots+g(n)[/latex],
gdje je [latex]f(n)[/latex] zbroj svih pozitivnih djelitelja od [latex]n[/latex], a [latex]g(n)[/latex] broj pozitivnih djelitelja od [latex]n[/latex].
Dan je kvadrat ABCD…
…sa središtem [latex]S[/latex]. Na stranicama [latex]\overline{AB}[/latex], [latex]\overline{BC}[/latex], [latex]\overline{CD}[/latex], [latex]\overline{DA}[/latex] dane su redom točke [latex]L, M, N, K[/latex] takve da je [latex]SK\perp SL[/latex] i [latex]SM\perp SN[/latex]. Dokaži da je zbroj površina četverokuta [latex]KSND[/latex] i [latex]SLBM[/latex] jednak polovini površine kvadrata.
8/9 od prosjeka
U sobi je [latex]10[/latex] ljudi; svaki je od njih izvrstan matematičar i poznato mu je da su i ostali izvrsni matematičari.
Svaki od njih tajno će odabrati neki realan broj od 0 do 100 (uključivo), a pobjednik igre bit će onaj (ili više njih) čiji je broj najbliži [latex]8/9[/latex] prosjeka (aritmetičke sredine) svih odabranih brojeva.
Koji će brojevi biti odabrani?
Ne pokušavajte ovo kod kuće!
Dokaži da ne postoji prirodan broj [latex]x[/latex] takav da je [latex]x^7+92[/latex] potpun kvadrat.
Nađi sve realne polinome…
…za koje vrijedi [latex](x-1)P(x-1)=(x-4)P(x)[/latex] i [latex]P(0) = -12[/latex].
Zar opet geometrija?
Dane su dvije kružnice [latex]k_1, k_2[/latex] – jedna izvan druge. Opišite konstrukciju [latex]2011[/latex] međusobno različitih kružnica od kojih svaka siječe [latex]k_1[/latex] i [latex]k_2[/latex] pod pravim kutem.
(Kut pod kojim se sijeku dvije kružnice kut je između njihovih tangenata u točki presjeka.)
Turnir gradova
Turnir gradova se vraća u proljetnom izdanju!
Nakon županijskog natjecanja, već ove subote imate priliku opustiti se uz nove zadatke. Kao i uvijek, natjecanje se održava u prostorima Pete gimnazije, s početkom u 9 sati. Oni koji još nisu sudjelovali na Turniru gradova mogu saznati više o formatu natjecanja pod “Aktivnosti” ili ovdje.
Ove subote na rasporedu je pripremni dio, a za dva tjedna (19. ožujka) piše se glavni dio natjecanja.
Sve zainteresirane molimo da se prijave na http://tinyurl.com/49hflly (formular je isti kao onaj koji ste možda dobili mailom, pa ne morate ispunjavati dvaput).
Vidimo se u subotu!
PRIPREMNI DIO:
Rezultate pripremnog dijela možete vidjeti ovdje.
Juniori: zadaci – rješenja
Seniori: zadaci – rješenja
Kružnice s dva zanimljiva promjera
Dane su dvije kružnice [latex]k_1, k_2[/latex] koje se sijeku. Opišite konstrukciju [latex]2011[/latex] međusobno različitih kružnica od kojih svaka ima dva promjera od kojih je jedan tetiva kružnice [latex]k_1[/latex], a drugi tetiva kružnice [latex]k_2[/latex].