Svim sudionicima želimo puno sreće i dobar provod na državnom natjecanju koje će se održati ovaj vikend u Opatiji! 🙂
Hrvatsko otvoreno natjecanje u matematici
U novom ruhu, ali s dobrim starim navikama i ove godine organiziramo Hrvatsko otvoreno natjecanje u matematici (popularni MNUB).
Za zagrebačke srednjoškolce natjecanje će se održati 26. ožujka 2011. na Fakultetu elektrotehnike i računarstva s početkom u 9h. Natjecanje traje 4 sata.
Molimo sve zaintersirane srednjoškolce da dođu barem 15 minuta prije.
Ove subote održan je zagrebački dio natjecanja!
Trenutne rezultate(31.03.2011.) možete vidjeti u prilogu, a zadaci i rješenja bit će objavljeni čim se natjecanje održi u ostalim gradovima (Beograd, Skopje).
Čestitke svim učenicima, a posebno Matku i Matiji na izvrsnim rezultatima!
Zar ovo doista vrijedi?
Dokaži da za svaki konačan niz znamenaka postoji prirodan broj [latex]n[/latex] takav da [latex]2^n[/latex] počinje tim nizom znamenaka.
A potom je državno natjecanje, što znači da neće biti zadatka dana, a neće ga biti ni u tjednu nakon državnog, da se malo odmorite. Potom nastavljamo, idući hrabro ususret izbornim natjecanjima.
Nađi sve prirodne brojeve n…
…za koje postoji prirodan broj [latex]m[/latex] takav da je [latex]n[/latex] zbroj znamenaka od [latex]m^2[/latex].
Ciklička nejednakost
Dokaži [latex](y^3+x)(z^3+y)(x^3+z)\ge 125xyz[/latex] uz uvjet [latex]x, y, z\ge 2[/latex].
Svi smo mi trokut ABC
Dan je trokut [latex]ABC[/latex] i točka [latex]X[/latex] unutar njega. Pravci [latex]AX, BX, CX[/latex] sijeku opisanu kružnicu trokuta [latex]ABC[/latex] ponovno u točkama [latex]P, Q, R[/latex], respektivno. Na pravcu [latex]XP[/latex] (nije Windows) odabrana je točka [latex]U[/latex] između točaka [latex]X[/latex] i [latex]P[/latex]. Pravci kroz točku [latex]U[/latex], paralelni s [latex]AB[/latex] i [latex]CA[/latex], sijeku pravce [latex]XQ[/latex] i [latex]XR[/latex] u točkama [latex]V[/latex] i [latex]W[/latex], respektivno. Dokaži da točke [latex]R, W, V, Q[/latex] leže na istoj kružnici.
Dva poligona (a možda i više)
a) Dokaži da poligon sačinjen od jediničnih kvadratića ne može imati točno jednu stranicu parne duljine.
b) Poligon je sačinjen od parno mnogo jediničnih kvadratića. Dokaži da on ima barem dvije stranice parne duljine.
Reakcija
Svako polje prvog retka tablice od [latex]2[/latex] retka i [latex]2n[/latex] stupaca obojano je jednom od četiri boje tako da nikoja dva susjedna polja nisu iste boje. Dokaži da je moguće i drugi redak obojati koristeći iste boje, tako da nikoja dva polja iste boje nisu susjedna u tablici i tako da tablica sadrži točno [latex]n[/latex] polja od svake boje.
Liči na Nim – ali nema veze s njim
Dva igrača igraju sljedeću igru: imaju niz od [latex]2010[/latex] brojeva, a svaki je početno jednak [latex]2011[/latex]. Poteze vuku naizmjence. U svakom potezu igrač mora naći najveći broj u nizu (ako je više takvih, odabrat će bilo koji od njih) i smanjiti ga na proizvoljan nenegativan cijeli broj. Gubitnik igre onaj je igrač koji više ne može odigrati potez, tj. onaj koji je na potezu kad su svi brojevi jednaki [latex]0[/latex]. Koji igrač ima pobjedničku strategiju?
Razmišljajmo racionalno
Nađi sve parove pozitivnih racionalnih brojeva [latex](q, r)[/latex] za koje je [latex]q^q =r[/latex].