Liči na Nim - ali nema veze s njim

22.3.2011.OstaloAdrian Satja Kurdija

Dva igrača igraju sljedeću igru: imaju niz od

brojeva, a svaki je početno jednak

. Poteze vuku naizmjence. U svakom potezu igrač mora naći najveći broj u nizu (ako je više takvih, odabrat će bilo koji od njih) i smanjiti ga na proizvoljan nenegativan cijeli broj. Gubitnik igre onaj je igrač koji više ne može odigrati potez, tj. onaj koji je na potezu kad su svi brojevi jednaki

. Koji igrač ima pobjedničku strategiju?

Razmišljajmo racionalno

21.3.2011.OstaloAdrian Satja Kurdija

Nađi sve parove pozitivnih racionalnih brojeva

za koje je

Završno kolo Turnira Gradova

18.3.2011.OstaloPetar Bakić

Ove subote se održava glavni dio proljetnog Turnira Gradova!

Natjecanje se održava tradicionalno, u prostorima Pete gimnazije, s početkom u 9 sati. Molimo sve da dođu na vrijeme zbog dodjele diploma koja će se održati neposredno prije početka natjecanja.

Vidimo se u subotu!

GLAVNI DIO:

Konačne rezultate A dijela proljetnog kola Turnira Gradova možete pronaći ovdje. (Na listi su podcrtani rezultati učenika čiji se testovi šalju u Moskvu na daljnju evaluaciju.)

Čestitamo svim učenicima na izvrsnim rezultatima!

Podsjeća na IMO 2003

18.3.2011.OstaloAdrian Satja Kurdija

Nađi sve parove cijelih brojeva

takve da je

također cijeli broj.

Ekvator i paralele

17.3.2011.OstaloAdrian Satja Kurdija

U unutrašnjosti paralelograma

dana je točka

i u unutrašnjosti trokuta

točka

. Dokaži da je

ako vrijedi

Kolinearnost

16.3.2011.OstaloAdrian Satja Kurdija

U trokutu

, točka

je težište,

je visina iz vrha

(točka

leži na

) i točka

leži na opisanoj kružnici trokuta

pri čemu je

. Dokaži da su točke

kolinearne.

Liči na prethodni

15.3.2011.OstaloAdrian Satja Kurdija

Neka su realni brojevi. Dokažite da su sva rješenja jednadžbe

realna.

Nejednakost za početnike

14.3.2011.OstaloAdrian Satja Kurdija

Dokažite da za realne brojeve takve da je vrijedi

Na šahovskoj ploči N x N...

11.3.2011.OstaloAdrian Satja Kurdija

...u svakom polju piše cijeli broj. Ako svaki redak i svaki stupac sadrži barem različitih brojeva, pri čemu je , nađi minimalan broj različitih cijelih brojeva na ploči.