a) Dokaži da poligon sačinjen od jediničnih kvadratića ne može imati točno jednu stranicu parne duljine.
b) Poligon je sačinjen od parno mnogo jediničnih kvadratića. Dokaži da on ima barem dvije stranice parne duljine.
Reakcija
Svako polje prvog retka tablice od [latex]2[/latex] retka i [latex]2n[/latex] stupaca obojano je jednom od četiri boje tako da nikoja dva susjedna polja nisu iste boje. Dokaži da je moguće i drugi redak obojati koristeći iste boje, tako da nikoja dva polja iste boje nisu susjedna u tablici i tako da tablica sadrži točno [latex]n[/latex] polja od svake boje.
Liči na Nim – ali nema veze s njim
Dva igrača igraju sljedeću igru: imaju niz od [latex]2010[/latex] brojeva, a svaki je početno jednak [latex]2011[/latex]. Poteze vuku naizmjence. U svakom potezu igrač mora naći najveći broj u nizu (ako je više takvih, odabrat će bilo koji od njih) i smanjiti ga na proizvoljan nenegativan cijeli broj. Gubitnik igre onaj je igrač koji više ne može odigrati potez, tj. onaj koji je na potezu kad su svi brojevi jednaki [latex]0[/latex]. Koji igrač ima pobjedničku strategiju?
Razmišljajmo racionalno
Nađi sve parove pozitivnih racionalnih brojeva [latex](q, r)[/latex] za koje je [latex]q^q =r[/latex].
Završno kolo Turnira Gradova
Ove subote se održava glavni dio proljetnog Turnira Gradova!
Natjecanje se održava tradicionalno, u prostorima Pete gimnazije, s početkom u 9 sati. Molimo sve da dođu na vrijeme zbog dodjele diploma koja će se održati neposredno prije početka natjecanja.
Vidimo se u subotu!
GLAVNI DIO:
Konačne rezultate A dijela proljetnog kola Turnira Gradova možete pronaći ovdje. (Na listi su podcrtani rezultati učenika čiji se testovi šalju u Moskvu na daljnju evaluaciju.)
Čestitamo svim učenicima na izvrsnim rezultatima!
Podsjeća na IMO 2003
Nađi sve parove cijelih brojeva [latex](a, b)[/latex] takve da je [latex]\frac{a^2}{2a^2b-b^3+1}[/latex] također cijeli broj.
Ekvator i paralele
U unutrašnjosti paralelograma [latex]ABCD[/latex] dana je točka [latex]M[/latex] i u unutrašnjosti trokuta [latex]AMD[/latex] točka [latex]N[/latex]. Dokaži da je [latex]MN\parallel AB[/latex] ako vrijedi
[latex]\angle MNA+\angle MCB = \angle MND + \angle MBC = 180^{o}.[/latex]
Kolinearnost
U trokutu [latex]ABC[/latex], točka [latex]G[/latex] je težište, [latex]\overline{AP}[/latex] je visina iz vrha [latex]A[/latex] (točka [latex]P[/latex] leži na [latex]\overline{BC}[/latex]) i točka [latex]D[/latex] leži na opisanoj kružnici trokuta [latex]ABC[/latex] pri čemu je [latex]AD\parallel{}BC[/latex]. Dokaži da su točke [latex]P, G, D[/latex] kolinearne.
Liči na prethodni
Neka su [latex]a, b, c[/latex] realni brojevi. Dokažite da su sva rješenja jednadžbe
[latex]\frac{1}{x-a}+\frac{1}{x-b}+\frac{1}{x-c}=0[/latex]
realna.
Nejednakost za početnike
Dokažite da za realne brojeve [latex]a, b, c[/latex] takve da je [latex]a>b>c[/latex] vrijedi
[latex]\frac{1}{a-b}+\frac{1}{b-c}+\frac{1}{c-a} > 0.[/latex]