U trokutu [latex]ABC[/latex], točka [latex]G[/latex] je težište, [latex]\overline{AP}[/latex] je visina iz vrha [latex]A[/latex] (točka [latex]P[/latex] leži na [latex]\overline{BC}[/latex]) i točka [latex]D[/latex] leži na opisanoj kružnici trokuta [latex]ABC[/latex] pri čemu je [latex]AD\parallel{}BC[/latex]. Dokaži da su točke [latex]P, G, D[/latex] kolinearne.
All posts by Adrian Satja Kurdija
Liči na prethodni
Neka su [latex]a, b, c[/latex] realni brojevi. Dokažite da su sva rješenja jednadžbe
[latex]\frac{1}{x-a}+\frac{1}{x-b}+\frac{1}{x-c}=0[/latex]
realna.
Nejednakost za početnike
Dokažite da za realne brojeve [latex]a, b, c[/latex] takve da je [latex]a>b>c[/latex] vrijedi
[latex]\frac{1}{a-b}+\frac{1}{b-c}+\frac{1}{c-a} > 0.[/latex]
Na šahovskoj ploči N x N…
…u svakom polju piše cijeli broj. Ako svaki redak i svaki stupac sadrži barem [latex]K[/latex] različitih brojeva, pri čemu je [latex]0<K\le N[/latex], nađi minimalan broj različitih cijelih brojeva na ploči.
(predložio Miro Vujičević)
Još jedna teorija brojeva!
Nađi sve prirodne brojeve [latex]x, y[/latex] takve da [latex]x+y+1[/latex] dijeli [latex]2xy[/latex] i [latex]x+y-1[/latex] dijeli [latex]x^2+y^2-1[/latex].
Dokaži nejednakost…
[latex]f(n)\leq g(1)+g(2)+\dots+g(n)[/latex],
gdje je [latex]f(n)[/latex] zbroj svih pozitivnih djelitelja od [latex]n[/latex], a [latex]g(n)[/latex] broj pozitivnih djelitelja od [latex]n[/latex].
Dan je kvadrat ABCD…
…sa središtem [latex]S[/latex]. Na stranicama [latex]\overline{AB}[/latex], [latex]\overline{BC}[/latex], [latex]\overline{CD}[/latex], [latex]\overline{DA}[/latex] dane su redom točke [latex]L, M, N, K[/latex] takve da je [latex]SK\perp SL[/latex] i [latex]SM\perp SN[/latex]. Dokaži da je zbroj površina četverokuta [latex]KSND[/latex] i [latex]SLBM[/latex] jednak polovini površine kvadrata.
8/9 od prosjeka
U sobi je [latex]10[/latex] ljudi; svaki je od njih izvrstan matematičar i poznato mu je da su i ostali izvrsni matematičari.
Svaki od njih tajno će odabrati neki realan broj od 0 do 100 (uključivo), a pobjednik igre bit će onaj (ili više njih) čiji je broj najbliži [latex]8/9[/latex] prosjeka (aritmetičke sredine) svih odabranih brojeva.
Koji će brojevi biti odabrani?
Ne pokušavajte ovo kod kuće!
Dokaži da ne postoji prirodan broj [latex]x[/latex] takav da je [latex]x^7+92[/latex] potpun kvadrat.
Nađi sve realne polinome…
…za koje vrijedi [latex](x-1)P(x-1)=(x-4)P(x)[/latex] i [latex]P(0) = -12[/latex].