Dane su dvije kružnice [latex]k_1, k_2[/latex] – jedna izvan druge. Opišite konstrukciju [latex]2011[/latex] međusobno različitih kružnica od kojih svaka siječe [latex]k_1[/latex] i [latex]k_2[/latex] pod pravim kutem.
(Kut pod kojim se sijeku dvije kružnice kut je između njihovih tangenata u točki presjeka.)
Dane su dvije kružnice [latex]k_1, k_2[/latex] koje se sijeku. Opišite konstrukciju [latex]2011[/latex] međusobno različitih kružnica od kojih svaka ima dva promjera od kojih je jedan tetiva kružnice [latex]k_1[/latex], a drugi tetiva kružnice [latex]k_2[/latex].
…točka [latex]M[/latex] polovište je stranice [latex]\overline{BC}[/latex]. Pretpostavi da je [latex]\angle MAC =\angle ABC[/latex] i [latex]\angle BAM = 105^o[/latex]. Nađi mjeru kuta [latex]\angle ABC[/latex].
…takve da je [latex]n\cdot 2^{n+1}+1[/latex] potpun kvadrat.
Realni brojevi [latex]a, b, c, d[/latex] zadovoljavaju jednakosti [latex]abc-d=1[/latex], [latex]bcd-a=2[/latex], [latex]cda-b=3[/latex], [latex]dab-c=-6[/latex]. Dokaži da je [latex]a+b+c+d\neq 0[/latex].
[latex]|BC|^2(|PB|-|CP|) + |AC|^2(|PC|-|PA|) + |AB|^2(|PA|-|PB|) = 0.[/latex]
a) Dokaži da postoji dobra točka koja nije središte opisane kružnice trokuta.
b) Dokaži da postoji beskonačno mnogo dobrih točaka.
Neka je [latex]M[/latex] broj cjelobrojnih rješenja jednadžbe [latex]x^2-y^2=z^3-t^3[/latex] uz uvjet [latex]0\le x, y, z, t \le 10^6[/latex],
a [latex]N[/latex] broj cjelobrojnih rješenja jednadžbe [latex]x^2-y^2=z^3-t^3+1[/latex] uz isti uvjet.
Dokažite da je [latex]M>N[/latex].
(predložio Nikola Adžaga)