Nađi sve parove pozitivnih racionalnih brojeva [latex](q, r)[/latex] za koje je [latex]q^q =r[/latex].
Category Archives: Ostalo
Završno kolo Turnira Gradova
Ove subote se održava glavni dio proljetnog Turnira Gradova!
Natjecanje se održava tradicionalno, u prostorima Pete gimnazije, s početkom u 9 sati. Molimo sve da dođu na vrijeme zbog dodjele diploma koja će se održati neposredno prije početka natjecanja.
Vidimo se u subotu!
GLAVNI DIO:
Konačne rezultate A dijela proljetnog kola Turnira Gradova možete pronaći ovdje. (Na listi su podcrtani rezultati učenika čiji se testovi šalju u Moskvu na daljnju evaluaciju.)
Čestitamo svim učenicima na izvrsnim rezultatima!
Podsjeća na IMO 2003
Nađi sve parove cijelih brojeva [latex](a, b)[/latex] takve da je [latex]\frac{a^2}{2a^2b-b^3+1}[/latex] također cijeli broj.
Ekvator i paralele
U unutrašnjosti paralelograma [latex]ABCD[/latex] dana je točka [latex]M[/latex] i u unutrašnjosti trokuta [latex]AMD[/latex] točka [latex]N[/latex]. Dokaži da je [latex]MN\parallel AB[/latex] ako vrijedi
[latex]\angle MNA+\angle MCB = \angle MND + \angle MBC = 180^{o}.[/latex]
Kolinearnost
U trokutu [latex]ABC[/latex], točka [latex]G[/latex] je težište, [latex]\overline{AP}[/latex] je visina iz vrha [latex]A[/latex] (točka [latex]P[/latex] leži na [latex]\overline{BC}[/latex]) i točka [latex]D[/latex] leži na opisanoj kružnici trokuta [latex]ABC[/latex] pri čemu je [latex]AD\parallel{}BC[/latex]. Dokaži da su točke [latex]P, G, D[/latex] kolinearne.
Liči na prethodni
Neka su [latex]a, b, c[/latex] realni brojevi. Dokažite da su sva rješenja jednadžbe
[latex]\frac{1}{x-a}+\frac{1}{x-b}+\frac{1}{x-c}=0[/latex]
realna.
Nejednakost za početnike
Dokažite da za realne brojeve [latex]a, b, c[/latex] takve da je [latex]a>b>c[/latex] vrijedi
[latex]\frac{1}{a-b}+\frac{1}{b-c}+\frac{1}{c-a} > 0.[/latex]
Na šahovskoj ploči N x N…
…u svakom polju piše cijeli broj. Ako svaki redak i svaki stupac sadrži barem [latex]K[/latex] različitih brojeva, pri čemu je [latex]0<K\le N[/latex], nađi minimalan broj različitih cijelih brojeva na ploči.
(predložio Miro Vujičević)
Još jedna teorija brojeva!
Nađi sve prirodne brojeve [latex]x, y[/latex] takve da [latex]x+y+1[/latex] dijeli [latex]2xy[/latex] i [latex]x+y-1[/latex] dijeli [latex]x^2+y^2-1[/latex].
Dokaži nejednakost…
[latex]f(n)\leq g(1)+g(2)+\dots+g(n)[/latex],
gdje je [latex]f(n)[/latex] zbroj svih pozitivnih djelitelja od [latex]n[/latex], a [latex]g(n)[/latex] broj pozitivnih djelitelja od [latex]n[/latex].