…takve da je [latex]n\cdot 2^{n+1}+1[/latex] potpun kvadrat.
1, 2, 3, -6
Realni brojevi [latex]a, b, c, d[/latex] zadovoljavaju jednakosti [latex]abc-d=1[/latex], [latex]bcd-a=2[/latex], [latex]cda-b=3[/latex], [latex]dab-c=-6[/latex]. Dokaži da je [latex]a+b+c+d\neq 0[/latex].
Danas je malo dobrih točaka. U moje vrijeme, bilo je drugačije…
Neka je [latex]ABC[/latex] šiljastokutan, ne-jednakostraničan trokut. Točku [latex]P[/latex] nazivamo dobrom ako se nalazi u unutrašnjosti trokuta i ako vrijedi
[latex]|BC|^2(|PB|-|CP|) + |AC|^2(|PC|-|PA|) + |AB|^2(|PA|-|PB|) = 0.[/latex]
a) Dokaži da postoji dobra točka koja nije središte opisane kružnice trokuta.
b) Dokaži da postoji beskonačno mnogo dobrih točaka.
Broj cjelobrojnih rješenja jednadžbi
Neka je [latex]M[/latex] broj cjelobrojnih rješenja jednadžbe [latex]x^2-y^2=z^3-t^3[/latex] uz uvjet [latex]0\le x, y, z, t \le 10^6[/latex],
a [latex]N[/latex] broj cjelobrojnih rješenja jednadžbe [latex]x^2-y^2=z^3-t^3+1[/latex] uz isti uvjet.
Dokažite da je [latex]M>N[/latex].
(predložio Nikola Adžaga)
Neka vas izgled ne uplaši
Dokaži da za pozitivne realne brojeve [latex]x, y, z[/latex] vrijedi
[latex]\sqrt {x(y + 1)} + \sqrt {y(z + 1)} + \sqrt {z(x +1)}\le \frac {3}{2}\sqrt {(x + 1)(y + 1)(z +1)}[/latex]
O broju triangulacija poligona
Dan je konveksan poligon sa [latex]n\ge 4[/latex] vrhova.
Neka je [latex]f(n)[/latex] broj načina da dijagonalama podijelimo taj poligon na same trokute čiji su vrhovi ujedno i vrhovi poligona.
Neka je [latex]g(n)[/latex] broj načina da izaberemo točno [latex]n-4[/latex] dijagonala poligona od kojih se nikoje dvije ne sijeku.
Dokaži da je [latex](n-3)f(n)=2g(n)[/latex].
Zajedničke tangente
Dane su dvije kružnice čija ih zajednička vanjska tangenta dira u točkama [latex]A[/latex] i [latex]B[/latex], a zajednička unutarnja tangenta u točkama [latex]C[/latex] i [latex]D[/latex]. Dokaži da je [latex]|AB|>|CD|[/latex].
Nađi sve prirodne brojeve m…
…takve da je [latex]36^m-6[/latex] umnožak dvaju ili više uzastopnih prirodnih brojeva.
A kamoli bijekcija
Dan je neprazan (ne nužno konačan) skup [latex]A[/latex]. Neka je [latex]B[/latex] skup svih nepraznih podskupova od [latex]A[/latex]. Postoji li:
a) surjekcija [latex]f : A \to B[/latex];
b) injekcija [latex]g : B \to A[/latex]?
Jedna korisna lema
Na stranici [latex]\overline{BC}[/latex] trokuta [latex]ABC[/latex] dana je točka [latex]D[/latex]. Tada je [latex]\frac{|BD|}{|CD|} = \frac{\sin \angle BAD}{\sin\angle CAD}\cdot\frac{|AB|}{|AC|}[/latex].
Preporučam da ovo dokažu oni koji ne znaju trigonometriju: dovoljno je pogledati poučak o sinusima.
Inače, ova korisna činjenica olakšava način razmišljanja u zadacima u kojima se javlja ovakva konfiguracija, jer daje odnos duljina na koje je podijeljena stranica trokuta i kutova na koje je podijeljen nasuprotni kut trokuta. Za primjer pogledajte što se dobiva kad je [latex]AD[/latex] težišnica, visina, simetrala kuta.