Broj cjelobrojnih rješenja jednadžbi

Ostalo

Neka je [latex]M[/latex] broj cjelobrojnih rješenja jednadžbe [latex]x^2-y^2=z^3-t^3[/latex] uz uvjet [latex]0\le x, y, z, t \le 10^6[/latex],
a [latex]N[/latex] broj cjelobrojnih rješenja jednadžbe [latex]x^2-y^2=z^3-t^3+1[/latex] uz isti uvjet.

Dokažite da je [latex]M>N[/latex].

(predložio Nikola Adžaga)

O broju triangulacija poligona

Ostalo
Dan je konveksan poligon sa [latex]n\ge 4[/latex] vrhova.
Neka je [latex]f(n)[/latex] broj načina da dijagonalama podijelimo taj poligon na same trokute čiji su vrhovi ujedno i vrhovi poligona.
Neka je [latex]g(n)[/latex] broj načina da izaberemo točno [latex]n-4[/latex] dijagonala poligona od kojih se nikoje dvije ne sijeku.
Dokaži da je [latex](n-3)f(n)=2g(n)[/latex].

Zajedničke tangente

Ostalo

Dane su dvije kružnice čija ih zajednička vanjska tangenta dira u točkama [latex]A[/latex] i [latex]B[/latex], a zajednička unutarnja tangenta u točkama [latex]C[/latex] i [latex]D[/latex]. Dokaži da je [latex]|AB|>|CD|[/latex].

A kamoli bijekcija

Ostalo

Dan je neprazan (ne nužno konačan) skup [latex]A[/latex]. Neka je [latex]B[/latex] skup svih nepraznih podskupova od [latex]A[/latex]. Postoji li:

a) surjekcija [latex]f : A \to B[/latex];

b) injekcija [latex]g : B \to A[/latex]?

Jedna korisna lema

Ostalo

Na stranici [latex]\overline{BC}[/latex] trokuta [latex]ABC[/latex] dana je točka [latex]D[/latex]. Tada je [latex]\frac{|BD|}{|CD|} = \frac{\sin \angle BAD}{\sin\angle CAD}\cdot\frac{|AB|}{|AC|}[/latex].

Preporučam da ovo dokažu oni koji ne znaju trigonometriju: dovoljno je pogledati poučak o sinusima.

Inače, ova korisna činjenica olakšava način razmišljanja u zadacima u kojima se javlja ovakva konfiguracija, jer daje odnos duljina na koje je podijeljena stranica trokuta i kutova na koje je podijeljen nasuprotni kut trokuta. Za primjer pogledajte što se dobiva kad je [latex]AD[/latex] težišnica, visina, simetrala kuta.

Teorija brojeva ili algebra?

Ostalo

Prirodni brojevi [latex]a[/latex], [latex]b[/latex], [latex]c[/latex], [latex]d[/latex] zadovoljavaju [latex]a > b > c > d[/latex], [latex]a + b + c + d = 2010[/latex], [latex]a^2 – b^2 + c^2 – d^2 = 2010[/latex]. Koliko različitih vrijednosti može poprimiti broj [latex]a[/latex]?

(predložio Miro Vujičević)