Čestitamo svim učenicima na izvrsnim rezultatima postignutim na županijskom natjecanju!
Rezultati iz Grada Zagreba mogu se naći ovdje.
Category Archives: Ostalo
Reli MNM-a
Dragi učenici,
kako sezona natjecanja polako dostiže svoj vrhunac, sutra se na FERu, umjesto standardnih predavanja, održava Reli mladih matematičara!
Za one koji ne znaju, reli je ekipno natjecanje u kojem se tročlane ili četveročlane ekipe (koje ćemo oformiti sutra) međusobno natječu rješavajući zabavne zadatke raznih težina iz raznih područja. Osim zabave, reli će vam pružiti priliku i za zadnje testiranje prije županijskog natjecanja.
Zato dođite u što većem broju – počinjemo u 9:30!
Zadatke s današnjeg relija možete pogledati ovdje.
Čestitamo svima na uspješno riješenim zadacima!
Seoska posla 2
Prije tri tjedna, zadatak dana bio je sljedeći:
U selu živi [latex]n[/latex] stanovnika, a svaki od njih je vitez (koji uvijek govori istinu) ili sluga (koji uvijek laže). Broj vitezova veći je od broja sluga i to vam je poznato. Vi možete upitati bilo kojeg stanovnika: “je li osoba [latex]X[/latex] vitez ili sluga?”, za bilo kojeg drugog stanovnika [latex]X[/latex]. Odredite minimalan ukupan broj postavljenih pitanja potreban da sa sigurnošću odredite tko je vitez, a tko sluga.
Za [latex]n\ge 3[/latex] ustanovili smo da je odgovor: [latex]n-1[/latex] pitanja. Novi zadatak glasi: na koliko načina je moguće postaviti tih [latex]n-1[/latex] pitanja? Pritom pretpostavite da najprije kažete sva pitanja, a tek onda čujete sve odgovore – pa dakle poredak pitanja nije važan. Naravno, nakon tih pitanja morate biti u mogućnosti točno ustvrditi tko je vitez, a tko sluga.
U trokutu ABC…
…točka [latex]M[/latex] polovište je stranice [latex]\overline{BC}[/latex]. Pretpostavi da je [latex]\angle MAC =\angle ABC[/latex] i [latex]\angle BAM = 105^o[/latex]. Nađi mjeru kuta [latex]\angle ABC[/latex].
Nađi sve prirodne brojeve n…
…takve da je [latex]n\cdot 2^{n+1}+1[/latex] potpun kvadrat.
1, 2, 3, -6
Realni brojevi [latex]a, b, c, d[/latex] zadovoljavaju jednakosti [latex]abc-d=1[/latex], [latex]bcd-a=2[/latex], [latex]cda-b=3[/latex], [latex]dab-c=-6[/latex]. Dokaži da je [latex]a+b+c+d\neq 0[/latex].
Danas je malo dobrih točaka. U moje vrijeme, bilo je drugačije…
Neka je [latex]ABC[/latex] šiljastokutan, ne-jednakostraničan trokut. Točku [latex]P[/latex] nazivamo dobrom ako se nalazi u unutrašnjosti trokuta i ako vrijedi
[latex]|BC|^2(|PB|-|CP|) + |AC|^2(|PC|-|PA|) + |AB|^2(|PA|-|PB|) = 0.[/latex]
a) Dokaži da postoji dobra točka koja nije središte opisane kružnice trokuta.
b) Dokaži da postoji beskonačno mnogo dobrih točaka.
Broj cjelobrojnih rješenja jednadžbi
Neka je [latex]M[/latex] broj cjelobrojnih rješenja jednadžbe [latex]x^2-y^2=z^3-t^3[/latex] uz uvjet [latex]0\le x, y, z, t \le 10^6[/latex],
a [latex]N[/latex] broj cjelobrojnih rješenja jednadžbe [latex]x^2-y^2=z^3-t^3+1[/latex] uz isti uvjet.
Dokažite da je [latex]M>N[/latex].
(predložio Nikola Adžaga)
Neka vas izgled ne uplaši
Dokaži da za pozitivne realne brojeve [latex]x, y, z[/latex] vrijedi
[latex]\sqrt {x(y + 1)} + \sqrt {y(z + 1)} + \sqrt {z(x +1)}\le \frac {3}{2}\sqrt {(x + 1)(y + 1)(z +1)}[/latex]
O broju triangulacija poligona
Dan je konveksan poligon sa [latex]n\ge 4[/latex] vrhova.
Neka je [latex]f(n)[/latex] broj načina da dijagonalama podijelimo taj poligon na same trokute čiji su vrhovi ujedno i vrhovi poligona.
Neka je [latex]g(n)[/latex] broj načina da izaberemo točno [latex]n-4[/latex] dijagonala poligona od kojih se nikoje dvije ne sijeku.
Dokaži da je [latex](n-3)f(n)=2g(n)[/latex].