Category Archives: Ostalo

Seoska posla 2

Ostalo
Prije tri tjedna, zadatak dana bio je sljedeći:
U selu živi [latex]n[/latex] stanovnika, a svaki od njih je vitez (koji uvijek govori istinu) ili sluga (koji uvijek laže). Broj vitezova veći je od broja sluga i to vam je poznato. Vi možete upitati bilo kojeg stanovnika: “je li osoba [latex]X[/latex] vitez ili sluga?”, za bilo kojeg drugog stanovnika [latex]X[/latex]. Odredite minimalan ukupan broj postavljenih pitanja potreban da sa sigurnošću odredite tko je vitez, a tko sluga.

Za [latex]n\ge 3[/latex] ustanovili smo da je odgovor: [latex]n-1[/latex] pitanja. Novi zadatak glasi: na koliko načina je moguće postaviti tih [latex]n-1[/latex] pitanja? Pritom pretpostavite da najprije kažete sva pitanja, a tek onda čujete sve odgovore – pa dakle poredak pitanja nije važan. Naravno, nakon tih pitanja morate biti u mogućnosti točno ustvrditi tko je vitez, a tko sluga.

U trokutu ABC…

Ostalo

…točka [latex]M[/latex] polovište je stranice [latex]\overline{BC}[/latex]. Pretpostavi da je [latex]\angle MAC =\angle ABC[/latex] i [latex]\angle BAM = 105^o[/latex]. Nađi mjeru kuta [latex]\angle ABC[/latex].

1, 2, 3, -6

Ostalo

Realni brojevi [latex]a, b, c, d[/latex] zadovoljavaju jednakosti [latex]abc-d=1[/latex], [latex]bcd-a=2[/latex], [latex]cda-b=3[/latex], [latex]dab-c=-6[/latex]. Dokaži da je [latex]a+b+c+d\neq 0[/latex].

Broj cjelobrojnih rješenja jednadžbi

Ostalo

Neka je [latex]M[/latex] broj cjelobrojnih rješenja jednadžbe [latex]x^2-y^2=z^3-t^3[/latex] uz uvjet [latex]0\le x, y, z, t \le 10^6[/latex],
a [latex]N[/latex] broj cjelobrojnih rješenja jednadžbe [latex]x^2-y^2=z^3-t^3+1[/latex] uz isti uvjet.

Dokažite da je [latex]M>N[/latex].

(predložio Nikola Adžaga)

O broju triangulacija poligona

Ostalo
Dan je konveksan poligon sa [latex]n\ge 4[/latex] vrhova.
Neka je [latex]f(n)[/latex] broj načina da dijagonalama podijelimo taj poligon na same trokute čiji su vrhovi ujedno i vrhovi poligona.
Neka je [latex]g(n)[/latex] broj načina da izaberemo točno [latex]n-4[/latex] dijagonala poligona od kojih se nikoje dvije ne sijeku.
Dokaži da je [latex](n-3)f(n)=2g(n)[/latex].

Zajedničke tangente

Ostalo

Dane su dvije kružnice čija ih zajednička vanjska tangenta dira u točkama [latex]A[/latex] i [latex]B[/latex], a zajednička unutarnja tangenta u točkama [latex]C[/latex] i [latex]D[/latex]. Dokaži da je [latex]|AB|>|CD|[/latex].