…takve da je [latex]36^m-6[/latex] umnožak dvaju ili više uzastopnih prirodnih brojeva.
Category Archives: Ostalo
A kamoli bijekcija
Dan je neprazan (ne nužno konačan) skup [latex]A[/latex]. Neka je [latex]B[/latex] skup svih nepraznih podskupova od [latex]A[/latex]. Postoji li:
a) surjekcija [latex]f : A \to B[/latex];
b) injekcija [latex]g : B \to A[/latex]?
Jedna korisna lema
Na stranici [latex]\overline{BC}[/latex] trokuta [latex]ABC[/latex] dana je točka [latex]D[/latex]. Tada je [latex]\frac{|BD|}{|CD|} = \frac{\sin \angle BAD}{\sin\angle CAD}\cdot\frac{|AB|}{|AC|}[/latex].
Preporučam da ovo dokažu oni koji ne znaju trigonometriju: dovoljno je pogledati poučak o sinusima.
Inače, ova korisna činjenica olakšava način razmišljanja u zadacima u kojima se javlja ovakva konfiguracija, jer daje odnos duljina na koje je podijeljena stranica trokuta i kutova na koje je podijeljen nasuprotni kut trokuta. Za primjer pogledajte što se dobiva kad je [latex]AD[/latex] težišnica, visina, simetrala kuta.
Teorija brojeva ili algebra?
Prirodni brojevi [latex]a[/latex], [latex]b[/latex], [latex]c[/latex], [latex]d[/latex] zadovoljavaju [latex]a > b > c > d[/latex], [latex]a + b + c + d = 2010[/latex], [latex]a^2 – b^2 + c^2 – d^2 = 2010[/latex]. Koliko različitih vrijednosti može poprimiti broj [latex]a[/latex]?
(predložio Miro Vujičević)
Nehomogena nejednakost u dvije varijable
Dokaži nejednakost [latex]a^2b^2(a^2+b^2-2)\geq(a+b)(ab-1)[/latex] za sve pozitivne realne brojeve [latex]a, b[/latex].
Gdje god pogledaš – pravi kut
Dan je tetivan četverokut [latex]ABCD[/latex] takav da je [latex]AB[/latex] okomito na [latex]BC[/latex]. Točka [latex]K[/latex] nožište je okomice iz [latex]B[/latex] na [latex]DA[/latex], a točka [latex]N[/latex] nožište okomice iz [latex]B[/latex] na [latex]CA[/latex]. Dokaži da pravac [latex]KN[/latex] prolazi polovištem dužine [latex]\overline{BD}[/latex].
(predložio Vlatko Crnković)
Seoska posla
U selu živi [latex]n[/latex] stanovnika, a svaki od njih je vitez (koji uvijek govori istinu) ili sluga (koji uvijek laže). Broj vitezova veći je od broja sluga i to vam je poznato. Vi možete upitati bilo kojeg stanovnika: “je li osoba [latex]X[/latex] vitez ili sluga?”, za bilo kojeg drugog stanovnika [latex]X[/latex]. Odredite minimalan ukupan broj postavljenih pitanja potreban da sa sigurnošću odredite tko je vitez, a tko sluga.
Dokaži da postoji…
…beskonačno mnogo prirodnih brojeva koji nisu jednaki zbroju nikoja dva potpuna kvadrata, ali su jednaki zbroju neka tri potpuna kuba.
Sve počinje geometrijom
Pravilni šesterokut [latex]ABCDEF[/latex] upisan je u kružnicu. Na manjem kružnom luku [latex]\widehat{AB}[/latex] odabrana je točka
[latex]P[/latex]. Dokaži da je [latex]|PA|+|PB|+|PC|+|PF|=|PD|+|PE|[/latex].
Kreće Zadatak dana!
Dragi mladi nadareni matematičari,
kao dnevnu dozu matematike za vas, u nadi da će polučiti kratkoročne rezultate mentalne ugode i dugoročne rezultate na vašem znanju, odlučio sam svakog radnog dana u 6 sati ujutro objaviti jedan Zadatak dana – arhiva će se nalaziti ovdje, a prvi zadatak bit će objavljen već sutra (2. veljače).
Zadaci će biti raznolikih težina: od državnog natjecanja za 1. razred do olimpijskih. Težina neće biti navedena uz zadatak da se ne bi tko uplašio zadatka koji bi zapravo mogao riješiti.
Kada prođe pet dana od objave zadatka, pozvani ste u komentare tog zadatka napisati njegovo rješenje, ideju ili bilo što drugo. Možete koristiti i [latex]\LaTeX{}[/latex], između tagova “latex” i “/latex” (navodnike zamijenite uglatim zagradama). Ponekad ću i ja dati link na rješenje ili ga napisati.
Također, budući da se ne bavim intenzivno natjecateljskom matematikom, teško mi je pribavljati velike količine dobrih zadataka. Zato pozivam sve učenike i mentore da, kada naiđu na zadatak koji je lijep ili poučan (bilo što od toga) te relativno nepoznat (npr. strana natjecanja), da mi ga pošalju na mail kao prijedlog za Zadatak dana.
Uživajte!