Dane su dvije kružnice čija ih zajednička vanjska tangenta dira u točkama i , a zajednička unutarnja tangenta u točkama i . Dokaži da je .

Dan je neprazan (ne nužno konačan) skup . Neka je skup svih nepraznih podskupova od . Postoji li:

a) surjekcija ;

b) injekcija ?

Na stranici trokuta  dana je točka . Tada je .

Preporučam da ovo dokažu oni koji ne znaju trigonometriju: dovoljno je pogledati poučak o sinusima.

Inače, ova korisna činjenica olakšava način razmišljanja u zadacima u kojima se javlja ovakva konfiguracija, jer daje odnos duljina na koje je podijeljena stranica trokuta i kutova na koje je podijeljen nasuprotni kut trokuta. Za primjer pogledajte što se dobiva kad je težišnica, visina, simetrala kuta.

Prirodni brojevi , , , zadovoljavaju , , . Koliko različitih vrijednosti može poprimiti broj ?

(predložio Miro Vujičević)

Dokaži nejednakost  za sve pozitivne realne brojeve .

Dan je tetivan četverokut  takav da je  okomito na . Točka  nožište je okomice iz  na , a točka  nožište okomice iz  na . Dokaži da pravac prolazi polovištem dužine .

(predložio Vlatko Crnković)