Dane su dvije kružnice čija ih zajednička vanjska tangenta dira u točkama [latex]A[/latex] i [latex]B[/latex], a zajednička unutarnja tangenta u točkama [latex]C[/latex] i [latex]D[/latex]. Dokaži da je [latex]|AB|>|CD|[/latex].

Dan je neprazan (ne nužno konačan) skup [latex]A[/latex]. Neka je [latex]B[/latex] skup svih nepraznih podskupova od [latex]A[/latex]. Postoji li:

a) surjekcija [latex]f : A \to B[/latex];

b) injekcija [latex]g : B \to A[/latex]?

Na stranici [latex]\overline{BC}[/latex] trokuta [latex]ABC[/latex] dana je točka [latex]D[/latex]. Tada je [latex]\frac{|BD|}{|CD|} = \frac{\sin \angle BAD}{\sin\angle CAD}\cdot\frac{|AB|}{|AC|}[/latex].

Preporučam da ovo dokažu oni koji ne znaju trigonometriju: dovoljno je pogledati poučak o sinusima.

Inače, ova korisna činjenica olakšava način razmišljanja u zadacima u kojima se javlja ovakva konfiguracija, jer daje odnos duljina na koje je podijeljena stranica trokuta i kutova na koje je podijeljen nasuprotni kut trokuta. Za primjer pogledajte što se dobiva kad je [latex]AD[/latex] težišnica, visina, simetrala kuta.

Prirodni brojevi [latex]a[/latex], [latex]b[/latex], [latex]c[/latex], [latex]d[/latex] zadovoljavaju [latex]a > b > c > d[/latex], [latex]a + b + c + d = 2010[/latex], [latex]a^2 – b^2 + c^2 – d^2 = 2010[/latex]. Koliko različitih vrijednosti može poprimiti broj [latex]a[/latex]?

(predložio Miro Vujičević)

Dokaži nejednakost [latex]a^2b^2(a^2+b^2-2)\geq(a+b)(ab-1)[/latex] za sve pozitivne realne brojeve [latex]a, b[/latex].

Dan je tetivan četverokut [latex]ABCD[/latex] takav da je [latex]AB[/latex] okomito na [latex]BC[/latex]. Točka [latex]K[/latex] nožište je okomice iz [latex]B[/latex] na [latex]DA[/latex], a točka [latex]N[/latex] nožište okomice iz [latex]B[/latex] na [latex]CA[/latex]. Dokaži da pravac [latex]KN[/latex] prolazi polovištem dužine [latex]\overline{BD}[/latex].

(predložio Vlatko Crnković)